Декарттық координаттар дегеніміз не?

Декарттық координаттар тордағы немесе кеңістіктегі нүктелерге реттелген жұптарды, үштіктерді немесе одан да көп сандарды тағайындау жүйесі болып табылады, бұл олардың орындарын дәл сипаттауға мүмкіндік береді. Бұл жүйе француз философы және математигі Рене Декарттың құрметіне аталған, ол 17 ғасырда оның идеясын дамытуға үлкен үлес қосқан. Декарттық координаттар қазіргі заманғы математиканың, геометрияның, физиканың, техниканың және басқа да көптеген салалардың негізін құрайды. Декарттық координаталар дегеніміз не, олар қалай жұмыс істейді және неліктен соншалықты маңызды екенін қарастырайық.

Декарттық координаталардың шығу тегі

Рене Декарт (1596–1650), ғылыми революцияның басты тұлғасы, алгебра мен геометрияны байланыстыру әрекетінің бөлігі ретінде декарттық координаталар жүйесін жасады. Оның революциялық идеясы жазықтықтағы кез келген нүктені сандар арқылы сипаттауға болады. Декартқа дейін геометрия негізінен көрнекі және сапалы болды. Декарттың инновациясы сандық және алгебралық тәсілді енгізді, алгебра арқылы геометриялық есептерді шешуге күшті құрал жасады және керісінше.

Декарттың жұмысы оның 1637 жылғыЛа Геометриятрактатында жарияланды, ол геометриялық фигураларды теңдеулер арқылы сипаттауға болатынын сипаттады, осылайша біз қазір аналитикалық геометрия деп атайтын нәрсені дүниеге әкелді. Оның жүйесі координаталық жазықтықты анықтау үшін перпендикуляр түзулерді (осьтерді) пайдаланды және осы осьтердің көмегімен екі өлшемдегі кез келген нүкте реттелген сандар жұбымен ұсынылуы мүмкін.

Декарттық координаттар дегеніміз не?

Декарттық координаттар кеңістіктегі нүктені бекітілген тірек сызықтарға немесе осьтерге қатысты нүктенің орнына сәйкес келетін сандар арқылы анықтайды. Әдетте, екі өлшемді декарттық жүйеде осьтер x осі (көлденең) және олар осі (тік) деп аталады. Бұл осьтер теориялық нүкте деп аталатын нүктеде қиылысады, мұнда \( x \) және \( y \) нөлге тең (0,0. Нүктенің жазықтықтағы орны екі санмен сипатталады, әдетте жақшаға (x, y) түрінде жазылады, олар нүктенің әр ось бойымен бастапқы нүктеден қаншалықты алыс екенін анықтайды.

Мысалы:Егер нүкте координаталық жұппен сипатталса (3, 4), бұл нүкте координаталар басынан үш бірлік оң жақта (x осі бойымен) және төрт бірлік жоғары (y бойымен) екенін білдіреді. осі.

Осы қарапайым екі өлшемді жағдайда координаттар жазық жазықтықтағы нүктенің нақты орнын көрсетеді. Бірақ декарттық координаттар үш өлшемді кеңістік немесе одан да көп дерексіз математикалық кеңістіктер сияқты жоғары өлшемдердегі нүктелерді де сипаттай алады.

• Осьтер: екі өлшемдегі екі негізгі анықтамалық сызық x осі (көлденең) және у осі (тік) деп аталады. Үш өлшемде біз әдетте тереңдікті білдіретін үшінші сызықты, z осін енгіземіз. Барлық осьтер 2D форматында (0, 0) немесе 3D форматында (0, 0, 0) деп белгіленетін координаталық нүктеде қиылысады.
• Бастау нүктесі: осьтердің қиылысу нүктесі координат деп аталады. Бұл барлық позициялар өлшенетін анықтамалық нүкте.
• Координаттар: екі өлшемде әрбір нүктенің x координаты (көлденең орны) және у координатасы (оның тік орны) болады. Үш өлшемде нүктелер x, y және z осьтерінің бойындағы орындарды анықтайтын үш координатпен (x, y, z) сипатталады.
• Квадранттар: Декарт жазықтығы x және y координаталарының белгілеріне негізделген квадранттар деп аталатын төрт аймаққа бөлінеді.
  • I квадрант: x және y екеуі де оң.
  • II квадрант: x теріс, у оң.
  • III квадрант: x және y екеуі де теріс.
  • IV квадрант: x оң, у теріс.

Екі өлшемдегі декарттық координаттар (2D)

2D декарттық жүйеде нүктелер реттелген сандар жұбын (x, y) пайдаланып, тегіс бетке орналасады. Бұл қалай жұмыс істейді:

• Thexкоординаталар бастапқы нүктеден солға немесе оңға қанша жылжу керектігін көрсетеді.
• Оң мәндер оңға жылжиды.
• Теріс мәндер солға жылжиды.
• Оларжоғары немесе төмен жылжыту қаншалықты қажет екенін үйлестіреді.
• Оң мәндер жоғары қарай жылжиды.
• Теріс мәндер төмен қарай жылжиды.

Мысалы: (5, 2) нүкте басынан бастап 5 бірлік оңға (x осі бойымен) және 2 бірлік жоғары (y осі бойымен) жылжытуды білдіреді.

Декарттық жазықтықтағы екі нүктенің (x1, y1) және (x2, y2) арасындағы қашықтықты Пифагор теоремасынан алынған формула арқылы есептеуге болады:

d = √(x2 x1)² (y2 y1)²)

Бұл формула нүктелер арасындағы қашықтықты дәл өлшеуге мүмкіндік беретін геометриядағы декарттық координаттардың қуатты қолданбасы болып табылады.

Соңғы нүктелері (x1, y1) және (x2, y2) бар түзу сегментінің ортасы соңғы нүктелердің координаталарын орташалау арқылы есептеледі:

M = (x1 x2)/2, (y1 y2)/2)

Орталық нүкте формуласы орталықты табу жолын бередіжазықтықтағы екі нүкте арасындағы түзу кесіндісінің нүктесі.

Үш өлшемдегі декарттық координаттар (3D)

Үш өлшемде жұмыс істегенде, декарттық координаттар жүйесі тереңдікті білдіретін thez осі деп аталатын үшінші осьті қамтиды. Үш ось бірбіріне перпендикуляр болып, 3D торын құрайды. Үш өлшемді кеңістіктегі әрбір нүкте үш координатамен сипатталады: (x, y, z.

• Thexкоординаталар қаншалықты солға немесе оңға жылжу керектігін көрсетеді.
• Оларжоғары немесе төмен жылжыту қаншалықты қажет екенін үйлестіреді.
• Thezкоординаталар қаншалықты алға (оң z) немесе артқа (теріс z) жылжу керектігін көрсетеді.

Мысалы: (3, 4, 5) нүкте басынан бастап 3 бірлік оңға, 4 бірлік жоғары және 5 бірлік алға жылжытуды айтады.

3D кеңістігіндегі екі нүкте (x1, y1, z1) және (x2, y2, z2) арасындағы қашықтық 2D қашықтық формуласының кеңейтімі болып табылады:

d = √(x2 x1)² (y2 y1)² (z2 z1)²)

Бұл формула кеңістіктегі нүктелер арасындағы қашықтықты дәл есептеуге мүмкіндік беретін үшінші өлшемді есептейді.

Декарттық координаталарды қолдану

Декарттық координаттар жүйесі әртүрлі пәндер бойынша кең ауқымды қолданбаларға ие. Ең кең таралған және маңызды қолданбалардың кейбірі мыналарды қамтиды:

Декарттық координаттар геометриялық фигураларды (сызықтар, шеңберлер, параболалар және т.б) алгебралық теңдеулер арқылы көрсетуге мүмкіндік береді. Мысалы, радиусыrжәне центрі (h, k) болатын шеңбердің теңдеуі (x h)² (y k)² = r². Түзудің еңіскесінді формасы, y = mx b, мұндағыmеңіс жәнеbyкесінді, декарттық координаталарға негізделген.p> 2. Компьютерлік графика

Компьютерлік графикада декарттық координаттар экрандағы пикселдердің орындарын анықтау және аудармалар, айналдыру және кескіндерді масштабтау сияқты түрлендірулерді орындау үшін пайдаланылады.

Физикада декарттық координаттар қозғалысты, күштерді және өрістерді екі және үш өлшемде сипаттау үшін өте маңызды. Мысалы, бөлшектің жазықтықтағы қозғалысын оның орны (x(t), y(t) уақыт функцияларыtретінде сипаттауға болады.

Инженерлер физикалық жүйелерді модельдеу және имитациялау үшін декарттық координаттарды пайдаланады. Робототехникада робот қолының кеңістіктегі орны мен бағыты жиі декарттық координаттар арқылы сипатталады.

Географиялық ақпараттық жүйелер (ГАЖ) жер бетіндегі орындарды картаға түсіру үшін декарттық координаттарды пайдаланады. Кең ауқымды картаға түсіру үшін ендік пен бойлық жиірек болғанымен, жергілікті торлар жиі декарттық координаттарды пайдаланады.

Декарттық координаталардағы түрлендірулер

Трансформациялар координаталық жазықтықта фигураларды жылжытатын немесе өзгертетін операциялар. Түрлендірулердің жалпы түрлеріне мыналар жатады:

• Аударма: әрбір координатаға бірдей мөлшерді қосу арқылы нүктені немесе фигураны жылжыту.
• Айналдыру: нүктені немесе фигураны белгілі бір бұрышқа басынан айналдыру.
• Рефлексия: нүктені немесе фигураны x осі немесе у осі сияқты сызықтың үстінен аудару.
• Масштабтау: координаталарды тұрақтыға көбейту арқылы фигураны кеңейту немесе қысқарту.

Бұл түрлендірулер кескіндер мен нысандарды өңдеу үшін пайдаланылатын компьютерлік графика сияқты салаларда өте маңызды.

Жоғары өлшемдердегі декарттық координаттар

Декарттық координаттарды екі немесе үш өлшемде жиі қолданатын болсақ, тұжырымдаманы өлшемдердің кез келген санына дейін кеңейтуге болады. 4D декарттық жүйеде нүктелер төрт санмен (x, y, z, w) сипатталады, мұндаwтөртінші өлшемді білдіреді. Іс жүзінде декарттық координаттардыnөлшемді кеңістіктегі нүктелерді сипаттау үшін пайдалануға болады, бұл деректер ғылымы, машиналық оқыту және теориялық физика сияқты салаларда өте маңызды.

Геометриядан тыс: әртүрлі өрістердегі декарттық координаттар

Декарттық координаттар жүйесі тек математика немесе геометриямен шектелмейді. Оның утилитасы физика, информатика, инженерия, экономика және тіпті биологияны қоса алғанда, көптеген домендерді қамтиды. Деректерді және кеңістікті жүйелі түрде ұйымдастыру құралын ұсына отырып, декарттық координаттар бізге осы салалардағы күрделі мәселелерді модельдеуге, талдауға және шешуге мүмкіндік береді. Бұл бөлімде біз әртүрлі ғылыми және практикалық салаларда декарттық координаттардың әртүрлі қолданбаларын зерттейміз.

Физикада декарттық координаталар екі және үш өлшемді кеңістіктегі заттардың, күштердің және өрістердің қозғалысын модельдеу үшін өте қажет. Автокөліктің қозғалысы, планетаның орбитасы немесе электромагниттік өрістің әрекеті болсын, декарттық координаттар бұл құбылыстарды сандық талдауға негіз береді.

1.1 Кинематика: қозғалысты сипаттау

Физикадағы декарттық координаттардың ең іргелі қолданбаларының бірі инкинематика, қозғалысты зерттеу болып табылады.ион. Кинематикада заттың кеңістіктегі орны көбінесе декарттық координаталар арқылы сипатталады. Мысалы, бөлшектің кез келген уақыттағы орнын оның координаталары (x(t), y(t), z(t) арқылы көрсетуге болады, мұндағыtуақыт пен х функцияларын білдіреді. (t), y(t) және z(t) уақыт бойынша позицияның қалай өзгеретінін сипаттайды.

Мысалы, егер нысан жазықтық бойымен екі өлшемде қозғалса, оның кез келген уақыттағы орныtкелесі теңдеулер арқылы сипатталуы мүмкін:

x(t) = v_x t x_0 y(t) = 1/2 a_y t² v_y t y_0

Мұнда, v_x және v_y объектінің x және y осі бойынша жылдамдығының құрамдастары, a_y y осі бойындағы үдеу (мысалы, ауырлық күші) және x_0 және y_0 бастапқы позициялар. Осы декарттық формулаларды пайдалана отырып, біз уақыт бойынша нысанның қозғалысын, жылдамдығын және үдеуін дәл бақылай аламыз.

1.2 Ньютон механикасы және декарттық координаттар

Ньютон механикасында күштер мен қозғалыс жиі декарттық координаттар жүйесінде талданады. Ньютонның екінші заңы F = ma, әдетте күштер мен үдеулерді олардың декарттық құрамдас бөліктеріне бөлу арқылы қолданылады. Мысалы, егер күш нысанға бұрышта қолданылса, біз бұл күшті оның көлденең (x) және тік (y) құрамдас бөліктеріне ыдыратамыз, содан кейін қозғалыс теңдеулерін әрбір оське тәуелсіз қолданамыз.

1.3 Векторлық өрістер және декарттық координаттар

Электромагнетизм және сұйықтық динамикасы сияқты өрістерде жылдамдық, электр өрістері және магнит өрістері сияқты физикалық шамалар жиі векторлық өрістер арқылы сипатталады. Векторлық өріс кеңістіктегі әрбір нүктеге вектор тағайындайды және бұл векторларды көрсету үшін декарттық координаттар пайдаланылады.

Мысалы, кеңістіктің кез келген нүктесіндегі E электр өрісін оның x, y және z осі бойындағы құрамдас бөліктері арқылы сипаттауға болады:

E(x, y, z) = E_x(x, y, z) î E_y(x, y, z) ĵ E_z(x, y, z) k̂

Мұнда E_x, E_y және E_z сәйкес осьтер бойындағы өріс компоненттерін, ал î, ĵ және k̂ сол осьтер бойындағы бірлік векторларды білдіреді. Бұл тұжырымды пайдалана отырып, біз электр өрісінің кеңістікте қалай өзгеретінін сипаттай аламыз, оның әрекетін талдаймыз және зарядталған бөлшектерге әсер ететін күштерді есептей аламыз.

1.4 Декарттық координаталардағы айналу қозғалысы

Декарттық координаталар сызықтық қозғалысты сипаттау үшін табиғи түрде қолайлы болғанымен, оларды бұрыштық шамаларды енгізу арқылы айналмалы қозғалысты талдау үшін де пайдалануға болады. Үш өлшемді кеңістікте айналмалы нысанның орнын декарттық координаталар арқылы сипаттауға болады, ал нысанның айналуын бұрыштық жылдамдықω және бұрыштық импульс L сияқты векторлардың көмегімен талдауға болады.

Бұл шамалар екі векторды қабылдайтын және екеуіне де перпендикуляр үшінші векторды шығаратын айқас туындылар арқылы анықталады. Айқас туынды айналу қозғалысын талдаудағы негізгі операция болып табылады және ол айналу моментін, айналу күштерін және гироскопиялық әсерлерді түсінуде орталық рөл атқарады.

Информатикада декарттық координаттар 2D және 3D графикасынан бастап кеңістіктік дерекқорларға, алгоритмдерге және жасанды интеллектке дейін кеңінен қолданылады. Декарттық координаттардың қарапайымдылығы мен әмбебаптығы бағдарламашыларға нысандарды виртуалды ортада да, нақты әлемде де модельдеуге және басқаруға мүмкіндік береді.

2.1 Графика және ойын әзірлеу

Компьютерлік графика мен ойын әзірлеу, декарттық координаттар экранда объектілерді құру және көрсету үшін негіз болып табылады. Компьютер экранындағы әрбір пикселді декарттық координаттар арқылы көрсетуге болады, бастапқы нүкте әдетте 2D қолданбаларында экранның жоғарғы сол жақ бұрышында немесе 3D орталарында көріністің ортасында орналасады.

Мысалы, 2D платформалық ойында ойыншы кейіпкерінің орны декарттық координаталар (x, y) жұбымен ұсынылуы мүмкін, олар кейіпкердің көлденең және тік бағыттағы бастапқы нүктеден қаншалықты алыс екенін көрсетеді. Ойын қозғалтқышы осы координаттарды кейіпкерді экранның дұрыс орнында көрсету үшін пайдаланады және кейіпкер қозғалған сайын координаттарды нақты уақытта жаңартады.

3D графикасында декарттық координаттар 3D нысандарының бұрыш нүктелері болып табылатын төбелердің орындарын анықтау үшін пайдаланылады. Осы координаттарды басқару арқылы әзірлеушілер күрделі кескіндерді жасай алады, түрлендірулерді қолдана алады (айналу, масштабтау және аудару сияқты) және перспективалық проекция сияқты әдістерді пайдаланып 2D экранына 3D көріністерін жобалай алады.

2.2 Алгоритмдердегі және деректер құрылымдарындағы координаттар жүйелері

Декарттық координаттар кеңістіктік есептерді шешу үшін қолданылатын әртүрлі алгоритмдер мен деректер құрылымдарында да рөл атқарады. Мысалы, кеңістіктегі деректер мен іздеу алгоритмдері кеңістіктегі нысандар туралы ақпаратты тиімді сақтау және алу үшін декарттық координаттарды пайдаланады.

Бұның бір мысалы екі өлшемді кеңістікті кішірек аймақтарға бөлу үшін пайдаланылатын деректер құрылымы. Төртбұрышта әрбір түйін r білдіредідекарттық жазықтықта тікбұрышты аймақ және қажет болған жағдайда ағаш төрт кіші квадрантқа бөлінеді. Төрт ағаштар әдетте географиялық ақпараттық жүйелер (GIS) сияқты қолданбаларда қолданылады, мұнда олар үлкен деректер жиынын тиімді сұрауға және басқаруға мүмкіндік береді.

2.3 Машиналық оқыту және жасанды интеллект

Машиналық оқытуда және жасанды интеллектте декарттық координаттар жиі функция кеңістігіндегі деректер нүктелерін көрсету үшін пайдаланылады. Мысалы, бақыланатын оқытуда әрбір деректер нүктесі бірнеше мүмкіндіктермен сипатталуы мүмкін және бұл мүмкіндіктерді жоғары өлшемді декарттық кеңістіктегі координаттар ретінде қарастыруға болады.

Квадрат көлемі мен жатын бөлмелердің саны сияқты мүмкіндіктерге негізделген үй бағасын болжайтын машиналық оқыту үлгісін қарастырыңыз. Әрбір үйді 2D мүмкіндіктері кеңістігіндегі нүкте ретінде көрсетуге болады, мұнда xкоординатасы шаршы метрге, ал yкоординатасы жатын бөлмелерінің санына сәйкес келеді. Неғұрлым күрделі модельдер қосымша мүмкіндіктерді қамтуы мүмкін, сондықтан үлкен өлшемді кеңістіктегі деректер нүктелерін көрсетуі мүмкін.

Дерек нүктелерін декарттық кеңістіктегі координаттар ретінде қарастыру арқылы, ең жақын көршілер (KNN) сияқты машиналық оқыту алгоритмдері деректер нүктелерін жіктеу немесе болжамдар жасау үшін геометриялық принциптерді пайдалана алады. Мысалы, KNN «ең жақын» деректер нүктелерін жаңа нүктеге мүмкіндіктер кеңістігіндегі нүктелер арасындағы қашықтықтарды есептеу арқылы табады, көбінесе Пифагор теоремасынан алынған евклидтік қашықтық формуласын пайдаланады.

Инженерлікте декарттық координаттар физикалық жүйелерді жобалау, талдау және имитациялау үшін өте маңызды, ал робототехникада олар роботтық қарулардың, дрондардың және басқа құрылғылардың қозғалысы мен орналасуын басқару үшін қолданылады.

3.1 Құрылымдық инженерия

Инструкциялық инженерия, декарттық координаттар құрылымдағы арқалықтардың, түйіспелердің және басқа элементтердің орындарын модельдеу үшін қолданылады. Құрылымдағы әрбір нүктеге координаттарды тағайындау арқылы инженерлер құрылымға әсер ететін күштерді талдай алады, кернеулер мен деформацияларды есептеп, беріктік пен тұрақтылық үшін дизайнды оңтайландырады.

Ақырлы элементтерді талдау (FEA) әртүрлі жүктемелер кезінде құрылымның әрекетін модельдеу үшін құрылымдық инженерияда жиі қолданылатын есептеу әдісі. FEAда құрылым шағын элементтер торына бөлінеді, ал декарттық координаттар әрбір элемент пен оның түйіндерінің орындарын анықтау үшін қолданылады. Осы координаттарға негізделген теңдеулер жүйесін шешу арқылы инженерлер құрылымның қалай деформацияланатынын, қай жерде істен шығуы мүмкін екенін және оның дизайнын жақсарту жолын болжай алады.

3.2 Робототехника және автоматтандыру

Робототехникада декарттық координаттар роботты жүйелердің орнын және қозғалысын басқару үшін қолданылады. Мысалы, өнеркәсіптік робот қолы оның декарттық координаталарымен (x, y, z) анықталатын 3D кеңістігіндегі белгілі бір нүктеге жылжу үшін бағдарламалануы мүмкін. Осы координаттар негізінде нұсқауларды жіберу арқылы робот өзін дәл орналастыра алады және нысандарды басқара алады.

Көптеген роботтық жүйелер қозғалмайтын сызықтық осьтер (x, y және z) бойымен қозғалатын картезиандық роботтарды пайдаланады. Бұл роботтар әдетте алу және орналастыру операциялары сияқты қолданбаларда пайдаланылады, мұнда робот бір жерден заттарды алып, басқа жерге орналастыру үшін түзу жолдармен қозғалуы керек.

3.3 Басқару жүйелері

Бақылау жүйелері инженериясы, декарттық координаттар жүйенің күйін модельдеу және жүйенің әрекетін басқаратын басқару алгоритмдерін жобалау үшін жиі пайдаланылады. Мысалы, ұшқышсыз ұшақта немесе ұшқышсыз ұшу аппаратында (UAV) ұшқышсыз ұшақтың орны мен бағыты декарттық координаттардың көмегімен сипатталады, ал басқару алгоритмдері бұл ақпаратты дронды тұрақтандыру және кеңістікте шарлау үшін пайдаланады.

Қорытынды

Декарттық координаттар жүйесі, оның қарапайым, бірақ күшті осьтер мен сандар құрылымы бар, математика, ғылым және технология бойынша таптырмас құрал болып табылады. Алгебраны геометриямен байланыстырудағы алғашқы рөлінен бастап оның көп айнымалы есептеулердегі, сызықтық алгебрадағы, компьютерлік графикадағы және физикадағы заманауи қолданбаларына дейін декарттық координаттар бізді қоршаған әлемді сипаттайтын әмбебап тілді қамтамасыз етуді жалғастыруда.

Декарттық координаттар арқылы біз абстрактілі математикалық кеңістіктер мен нақты әлемдегі физикалық құбылыстар арасында кедергісіз ауыса аламыз, бұл күрделі мәселелерді шешуге, күрделі дизайн жасауға және түсінудің жаңа өлшемдерін зерттеуге мүмкіндік береді. Жүйенің екі, үш немесе одан да жоғары өлшемдерде бейімделуі оның қазіргі заманғы ғылыми ойлар мен технологиялық дамудың ірге тасы болып қалуына кепілдік береді.

Графикте қарапайым сызықты сызып жатырсыз ба, ғарыш кемесінің траекториясын есептейсіз бе немесе бейне ойында 3D үлгісін көрсетсеңіз де, декарттық координаттар сандар мен кеңістік арасындағы алшақтықты өтейтін маңызды құрал болып табылады, бұл бізге сандық есептеуге мүмкіндік береді., әлемді керемет жолдармен зерттеңіз және қалыптастырыңыз.