مختصات دکارتی چیست؟

مختصات دکارتی سیستمی است از اختصاص جفت اعداد مرتب، سه گانه یا بیشتر به نقاط روی شبکه یا در فضا، که امکان توصیف دقیق موقعیت آنها را فراهم می کند. این سیستم به افتخار فیلسوف و ریاضیدان فرانسوی رنه دکارت، که در توسعه ایده های پشت آن در قرن هفدهم نقش داشت، نامگذاری شده است. مختصات دکارتی اساس بسیاری از ریاضیات مدرن، هندسه، فیزیک، مهندسی و بسیاری از زمینه های دیگر را تشکیل می دهند. بیایید بررسی کنیم که مختصات دکارتی چیست، چگونه کار می کنند، و چرا اینقدر مهم هستند.

منشا مختصات دکارتی

رنه دکارت (15961650)، یک شخصیت کلیدی در انقلاب علمی، سیستم مختصات دکارتی را به عنوان بخشی از تلاش های خود برای پیوند جبر و هندسه توسعه داد. ایده انقلابی او این بود که هر نقطه از هواپیما را می توان با استفاده از اعداد توصیف کرد. قبل از دکارت، هندسه عمدتاً تصویری و کیفی بود. نوآوری دکارت یک رویکرد کمی و جبری را معرفی کرد و ابزار قدرتمندی برای حل مسائل هندسی با استفاده از جبر و بالعکس ایجاد کرد.

کار دکارت در رساله 1637 اوLa Géométrieمنتشر شد که نشان می‌دهد چگونه اشکال هندسی را می‌توان با معادلات توصیف کرد، بنابراین چیزی را که ما اکنون هندسه تحلیلی می‌نامیم به وجود آورد. سیستم او از خطوط عمود (محور) برای تعریف یک صفحه مختصات استفاده می‌کند و با این محورها، هر نقطه در دو بعد را می‌توان با یک جفت اعداد مرتب نشان داد.

مختصات دکارتی چیست؟

مختصات دکارتی با استفاده از اعدادی که با موقعیت نقطه نسبت به خطوط مرجع یا محورهای ثابت مطابقت دارند، نقطه ای را در فضا تعریف می کنند. به طور معمول، در یک سیستم دکارتی دو بعدی، محورها محور thex (افقی) و آنها محور (عمودی) نامیده می شوند. این محورها در نقطه ای به نام تئوری قطع می شوند، جایی که هر دو \( x \) و \( y \) صفر هستند (0,0. موقعیت یک نقطه در صفحه با دو عدد توصیف می‌شود که معمولاً در پرانتز به صورت (x، y) نوشته می‌شود، که تعیین می‌کند نقطه چقدر از مبدا در امتداد هر محور فاصله دارد.

مثال: اگر نقطه ای با جفت مختصات (3، 4) توصیف شود، به این معنی است که نقطه سه واحد در سمت راست مبدا (در امتداد محور x) و چهار واحد بالا (در امتداد y) قرار دارد. محور.

در این حالت دو بعدی ساده، مختصات مکان دقیق یک نقطه را در یک صفحه مسطح به ما می گوید. اما مختصات دکارتی همچنین می‌تواند نقاطی را در ابعاد بالاتر، مانند فضای سه‌بعدی، یا حتی فضاهای ریاضی انتزاعی‌تر، توصیف کند.

• محورها: دو خط مرجع اولیه در دو بعد، محور x (افقی) و محور y (عمودی) نامیده می شوند. در سه بعد، ما یک خط سوم، محور z را معرفی می کنیم که به طور معمول عمق را نشان می دهد. همه محورها در مبدا همدیگر را قطع می کنند، که به صورت (0، 0) در دو بعدی یا (0، 0، 0) در سه بعدی نشان داده شده است.
• Origin: نقطه تقاطع محورها مبدا نامیده می شود. این نقطه مرجعی است که همه موقعیت ها از آن اندازه گیری می شوند.
• مختصات: در دو بعد، هر نقطه دارای مختصات x (موقعیت افقی آن) و مختصات y (موقعیت عمودی آن) است. در سه بعد، نقاط با سه مختصات (x، y، z) توصیف می‌شوند که موقعیت‌هایی را در امتداد محورهای x، y و z مشخص می‌کنند.
• ربع: صفحه دکارتی بر اساس علائم مختصات x و y به چهار ناحیه به نام ربع تقسیم می شود.
  • ربع I: هر دو x و y مثبت هستند.
  • ربع دوم: x منفی است، y مثبت است.
  • ربع III: هر دو x و y منفی هستند.
  • ربع IV: x مثبت است، y منفی است.

مختصات دکارتی در دو بعد (2 بعدی)

در یک سیستم دکارتی دو بعدی، نقاط با استفاده از یک جفت مرتب شده از اعداد (x، y) روی یک سطح صاف قرار می گیرند. در اینجا نحوه کار این است:

• Thexcoordinate می‌گوید چقدر از مبدا به چپ یا راست حرکت کنید.
• مقادیر مثبت به سمت راست حرکت می کنند.
• مقادیر منفی به سمت چپ حرکت می کنند.
• آنها هماهنگ می کنند که چقدر باید به سمت بالا یا پایین حرکت کرد.
• مقادیر مثبت به سمت بالا حرکت می کنند.
• مقادیر منفی به سمت پایین حرکت می کنند.

به عنوان مثال: نقطه (5، 2) به ما می گوید که 5 واحد به سمت راست (در امتداد محور x) و 2 واحد به سمت بالا (در امتداد محور y) از مبدا حرکت کنیم.

فاصله بین دو نقطه (x1, y1) و (x2, y2) در صفحه دکارتی را می توان با استفاده از فرمول فاصله حاصل از قضیه فیثاغورث محاسبه کرد:

d = √(x2 x1)² (y2 y1)²)

این فرمول یک کاربرد قدرتمند از مختصات دکارتی در هندسه است که امکان اندازه گیری دقیق فواصل بین نقاط را فراهم می کند.

نقطه وسط یک پاره خط با نقاط پایانی (x1, y1) و (x2, y2) با میانگین مختصات نقاط پایانی محاسبه می‌شود:

M = (x1 x2)/2، (y1 y2)/2)

فرمول نقطه میانی راهی برای یافتن مرکز ارائه می دهدنقطه پاره خط بین دو نقطه در صفحه.

مختصات دکارتی در سه بعد (3D)

هنگام کار در سه بعدی، سیستم مختصات دکارتی شامل یک محور سوم به نام محور thez است که عمق را نشان می دهد. این سه محور بر یکدیگر عمود هستند و یک شبکه سه بعدی را تشکیل می دهند. هر نقطه در فضای سه بعدی با سه مختصات توصیف می شود: (x، y، z.

• Thexcoordinate می‌گوید چقدر باید به چپ یا راست حرکت کنید.
• آنها هماهنگ می کنند که چقدر باید به سمت بالا یا پایین حرکت کرد.
• Thezcoordinate میزان حرکت به جلو (z مثبت) یا عقب (z منفی) را نشان می‌دهد.

به عنوان مثال: نقطه (3، 4، 5) به ما می گوید که 3 واحد به سمت راست، 4 واحد به بالا و 5 واحد به جلو از مبدا حرکت کنیم.

فاصله بین دو نقطه (x1, y1, z1) و (x2, y2, z2) در فضای سه بعدی توسعه فرمول فاصله دو بعدی است:

d = √(x2 x1)² (y2 y1)² (z2 z1)²)

این فرمول مربوط به بعد سوم است و محاسبات دقیق فاصله بین نقاط در فضا را امکان پذیر می کند.

کاربردهای مختصات دکارتی

سیستم مختصات دکارتی طیف وسیعی از کاربردها در رشته های مختلف دارد. برخی از رایج ترین و مهم ترین برنامه ها عبارتند از:

مختصات دکارتی امکان نمایش اشکال هندسی (خطوط، دایره ها، سهمی ها و غیره) را از طریق معادلات جبری می دهد. برای مثال، معادله یک دایره با شعاعrو مرکز در (h, k) برابر است با (x h)² (y k)² = r². شکل شیبفاصله یک خط، y = mx b، که در آنmشیب وbبرق y است، بر اساس مختصات دکارتی است. p> 2. گرافیک کامپیوتر

در گرافیک رایانه‌ای، مختصات دکارتی برای تعیین موقعیت پیکسل‌ها روی صفحه و انجام تغییراتی مانند ترجمه، چرخش و مقیاس‌گذاری تصاویر استفاده می‌شود.

در فیزیک، مختصات دکارتی برای توصیف حرکت، نیروها و میدان‌ها در دو بعد و سه بعد ضروری است. به عنوان مثال، حرکت یک ذره در یک صفحه را می توان با موقعیت آن (x(t)، y(t) به عنوان تابعی از زمان توصیف کردt.

مهندسان از مختصات دکارتی برای مدل‌سازی و شبیه‌سازی سیستم‌های فیزیکی استفاده می‌کنند. در رباتیک، موقعیت و جهت گیری یک بازوی ربات در فضا اغلب با استفاده از مختصات دکارتی توصیف می شود.

سیستم‌های اطلاعات جغرافیایی (GIS) از مختصات دکارتی برای نقشه‌برداری مکان‌های روی سطح زمین استفاده می‌کنند. در حالی که طول و عرض جغرافیایی برای نقشه برداری در مقیاس بزرگ رایج تر است، شبکه های محلی اغلب از مختصات دکارتی استفاده می کنند.

تحولات در مختصات دکارتی

تغییرها عملیاتی هستند که ارقام را در صفحه مختصات جابجا یا تغییر می دهند. انواع متداول تبدیل عبارتند از:

• ترجمه: جابه‌جایی یک نقطه یا شکل با اضافه کردن همان مقدار به هر مختصات.
• چرخش: چرخاندن یک نقطه یا شکل به دور مبدا با یک زاویه خاص.
• بازتاب: چرخاندن یک نقطه یا شکل روی یک خط، مانند محور x یا محور y.
• مقیاس‌سازی: بسط یا انقباض یک شکل با ضرب مختصات در یک ثابت.

این تبدیل‌ها در زمینه‌هایی مانند گرافیک رایانه‌ای ضروری هستند، جایی که از آنها برای دستکاری اشکال و اشیا استفاده می‌شود.

مختصات دکارتی در ابعاد بالاتر

در حالی که ما معمولاً از مختصات دکارتی در دو یا سه بعد استفاده می‌کنیم، این مفهوم را می‌توان به هر تعدادی از ابعاد گسترش داد. در یک سیستم چهار بعدی دکارتی، نقاط با چهار عدد (x، y، z، w) توصیف می‌شوند کهwنماینده بعد چهارم است. در واقع، مختصات دکارتی را می توان برای توصیف نقاط در فضایnبعدی استفاده کرد، که در زمینه هایی مانند علم داده، یادگیری ماشین و فیزیک نظری بسیار مهم است.

فراتر از هندسه: مختصات دکارتی در زمینه های مختلف

سیستم مختصات دکارتی تنها به ریاضیات یا هندسه محدود نمی شود. ابزار آن دامنه های متعددی از جمله فیزیک، علوم کامپیوتر، مهندسی، اقتصاد و حتی زیست شناسی را در بر می گیرد. مختصات دکارتی با ارائه ابزاری برای سازماندهی سیستماتیک داده ها و فضا، ما را قادر می سازد تا مسائل پیچیده را در این زمینه ها مدل سازی، تحلیل و حل کنیم. در این بخش، کاربردهای متنوع مختصات دکارتی را در زمینه های مختلف علمی و عملی بررسی خواهیم کرد.

در فیزیک، مختصات دکارتی برای مدل‌سازی حرکت اجسام، نیروها و میدان‌ها در فضاهای دو بعدی و سه بعدی ضروری هستند. مختصات دکارتی خواه حرکت یک ماشین، مدار یک سیاره یا رفتار میدان الکترومغناطیسی باشد، چارچوبی را برای تجزیه و تحلیل کمی این پدیده ها فراهم می کند.

1.1 سینماتیک: توصیف حرکت

یکی از اساسی ترین کاربردهای مختصات دکارتی در فیزیک، حرکت شناسی است، مطالعه حرکت حرکتییون در سینماتیک، موقعیت یک جسم در فضا اغلب با استفاده از مختصات دکارتی توصیف می شود. به عنوان مثال، موقعیت یک ذره در هر زمان معین را می توان با مختصات آن (x(t)، y(t)، z(t)، جایی کهtنماینده زمان و توابع x نشان داد. (t)، y(t)، و z(t) چگونگی تغییر موقعیت در طول زمان را توضیح می دهند.

به عنوان مثال، اگر جسمی به صورت دو بعدی در امتداد یک صفحه حرکت کند، موقعیت آن در هر زمانtممکن است با معادلات زیر توصیف شود:

x(t) = v_x t x_0 y(t) = 1/2 a_y t² v_y t y_0

در اینجا، v_x و v_y مولفه های سرعت جسم در امتداد محور x و y هستند، a_y شتاب در امتداد محور y (مانند گرانش)، و x_0 و y_0 موقعیت های اولیه هستند. با استفاده از این فرمول‌های مبتنی بر دکارتی، می‌توانیم دقیقاً حرکت، سرعت و شتاب جسم را در طول زمان ردیابی کنیم.

1.2 مکانیک نیوتنی و مختصات دکارتی

در مکانیک نیوتنی، نیروها و حرکت اغلب در یک سیستم مختصات دکارتی تحلیل می‌شوند. قانون دوم نیوتن، F = ma، معمولاً با شکستن نیروها و شتاب ها به اجزای دکارتی اعمال می شود. به عنوان مثال، اگر نیرویی در یک زاویه به یک جسم وارد شود، آن نیرو را به اجزای افقی (x) و عمودی (y) آن تجزیه می کنیم، سپس معادلات حرکت را به طور مستقل به هر محور اعمال می کنیم.

1.3 فیلدهای برداری و مختصات دکارتی

در زمینه هایی مانند الکترومغناطیس و دینامیک سیالات، کمیت های فیزیکی مانند سرعت، میدان های الکتریکی و میدان های مغناطیسی اغلب با استفاده از میدان های برداری توصیف می شوند. یک فیلد برداری به هر نقطه از فضا یک بردار اختصاص می دهد و مختصات دکارتی برای نمایش این بردارها استفاده می شود.

به عنوان مثال، میدان الکتریکی E در هر نقطه از فضا را می توان با اجزای آن در امتداد محورهای x، y و z توصیف کرد:

E(x، y، z) = E_x(x، y، z) î E_y(x، y، z) ĵ E_z(x، y، z) k̂

در اینجا، E_x، E_y، و E_z مؤلفه های میدان را در امتداد محورهای مربوطه نشان می دهند، و î، ĵ و k̂ بردارهای واحد در امتداد آن محورها هستند. با استفاده از این فرمول، می‌توانیم نحوه تغییر میدان الکتریکی در فضا را توصیف کنیم، رفتار آن را تحلیل کنیم و نیروهایی را که بر ذرات باردار وارد می‌کند محاسبه کنیم.

1.4 حرکت چرخشی در مختصات دکارتی

در حالی که مختصات دکارتی به طور طبیعی برای توصیف حرکت خطی مناسب‌تر هستند، می‌توان از آنها برای تحلیل حرکت چرخشی با معرفی کمیت‌های زاویه‌ای نیز استفاده کرد. در فضای سه بعدی، موقعیت یک جسم در حال چرخش را می توان با مختصات دکارتی توصیف کرد، و چرخش جسم را می توان با استفاده از بردارهایی مانند سرعت زاویه ایω و تکانه زاویه ای تحلیل کرد.

این مقادیر با استفاده از محصولات متقاطع تعریف می شوند که دو بردار را می گیرند و بردار سومی را تولید می کنند که بر هر دو عمود است. محصول متقاطع یک عملیات اساسی در تجزیه و تحلیل حرکت دورانی است و نقش اصلی را در درک گشتاور، نیروهای دورانی و اثرات ژیروسکوپی ایفا می کند.

در علوم کامپیوتر، مختصات دکارتی به طور گسترده در همه چیز از گرافیک دو بعدی و سه بعدی گرفته تا پایگاه داده های فضایی، الگوریتم ها و هوش مصنوعی استفاده می شود. سادگی و تطبیق پذیری مختصات دکارتی به برنامه نویسان امکان مدل سازی و دستکاری اشیاء را در محیط های مجازی و واقعی می دهد.

2.1 گرافیک و توسعه بازی

گرافیک کامپیوتری و توسعه بازی، مختصات دکارتی اساس ایجاد و نمایش اشیاء روی صفحه را تشکیل می دهند. هر پیکسل روی صفحه رایانه را می توان با استفاده از مختصات دکارتی نشان داد، که منشاء آن معمولاً در گوشه سمت چپ بالای صفحه در برنامه های کاربردی دو بعدی یا در مرکز صحنه در محیط های سه بعدی قرار دارد.

به عنوان مثال، در یک بازی پلتفرمر دوبعدی، موقعیت شخصیت بازیکن ممکن است با یک جفت مختصات دکارتی (x، y) نشان داده شود که نشان می‌دهد شخصیت چقدر از مبدأ در جهت افقی و عمودی فاصله دارد. موتور بازی از این مختصات برای نمایش شخصیت در موقعیت صحیح روی صفحه استفاده می‌کند و با حرکت شخصیت، مختصات را در زمان واقعی به‌روزرسانی می‌کند.

در گرافیک سه بعدی، مختصات دکارتی برای تعیین موقعیت رئوس، که نقاط گوشه اشیاء سه بعدی هستند، استفاده می شود. با دستکاری این مختصات، توسعه‌دهندگان می‌توانند اشکال پیچیده ایجاد کنند، دگرگونی‌ها (مانند چرخش، مقیاس‌گذاری، و ترجمه) را اعمال کنند و صحنه‌های سه بعدی را با استفاده از تکنیک‌هایی مانند نمایش پرسپکتیو روی صفحه‌ای دوبعدی نمایش دهند.

2.2 سیستم های مختصات در الگوریتم ها و ساختارهای داده

مختصات دکارتی همچنین در الگوریتم‌ها و ساختار داده‌های مختلف که برای حل مسائل فضایی استفاده می‌شوند، نقش دارند. به عنوان مثال، پایگاه داده های فضایی و الگوریتم های جستجو از مختصات دکارتی برای ذخیره و بازیابی موثر اطلاعات در مورد اشیاء در فضا استفاده می کنند.

یک مثال از آن thequadtree است، یک ساختار داده ای که برای تقسیم یک فضای دو بعدی به مناطق کوچکتر استفاده می شود. در یک چهار درخت، هر گره نشان دهنده یک r استمنطقه مستطیلی در صفحه دکارتی، و درخت در صورت نیاز به چهار ربع کوچکتر تقسیم می شود. Quadtrees معمولاً در برنامه‌هایی مانند سیستم‌های اطلاعات جغرافیایی (GIS) استفاده می‌شوند، جایی که امکان جستجو و مدیریت کارآمد مجموعه داده‌های بزرگ را فراهم می‌کنند.

2.3 یادگیری ماشین و هوش مصنوعی

در یادگیری ماشین و هوش مصنوعی، مختصات دکارتی اغلب برای نمایش نقاط داده در فضای ویژگی استفاده می‌شود. به عنوان مثال، در یادگیری نظارت شده، هر نقطه داده ممکن است با چندین ویژگی توصیف شود، و این ویژگی ها را می توان به عنوان مختصاتی در یک فضای دکارتی با ابعاد بالا در نظر گرفت.

یک مدل یادگیری ماشینی را در نظر بگیرید که قیمت خانه را بر اساس ویژگی هایی مانند متراژ مربع و تعداد اتاق خواب ها پیش بینی می کند. هر خانه را می توان به عنوان یک نقطه در یک فضای ویژگی دو بعدی نشان داد که در آن مختصات x با متراژ مربع و مختصات y مربوط به تعداد اتاق خواب ها است. مدل‌های پیچیده‌تر ممکن است شامل ویژگی‌های اضافی باشند و بنابراین نقاط داده را در فضایی با ابعاد بالاتر نشان می‌دهند.

با در نظر گرفتن نقاط داده به عنوان مختصات در فضای دکارتی، الگوریتم‌های یادگیری ماشین مانند نزدیکترین همسایه‌ها (KNN) می‌توانند از اصول هندسی برای طبقه‌بندی نقاط داده یا پیش‌بینی استفاده کنند. به عنوان مثال، KNN با محاسبه فاصله بین نقاط در فضای مشخصه، اغلب با استفاده از فرمول فاصله اقلیدسی، که از قضیه فیثاغورث مشتق شده است، نزدیک ترین نقاط داده به یک نقطه جدید را پیدا می کند.

در مهندسی، مختصات دکارتی برای طراحی، تجزیه و تحلیل و شبیه‌سازی سیستم‌های فیزیکی حیاتی هستند، در حالی که در رباتیک، برای کنترل حرکت و موقعیت بازوهای رباتیک، هواپیماهای بدون سرنشین و سایر دستگاه‌ها استفاده می‌شود.

3.1 مهندسی سازه

مهندسی سازه، مختصات دکارتی برای مدل‌سازی موقعیت تیرها، اتصالات و سایر عناصر در یک سازه استفاده می‌شود. با اختصاص مختصات به هر نقطه از سازه، مهندسان می‌توانند نیروهای وارد بر سازه را تجزیه و تحلیل کنند، تنش‌ها و کرنش‌ها را محاسبه کنند و طراحی را برای استحکام و پایداری بهینه کنند.

تحلیل المان محدود (FEA) یک روش محاسباتی است که معمولاً در مهندسی سازه برای شبیه‌سازی نحوه رفتار یک سازه تحت بارهای مختلف استفاده می‌شود. در FEA، یک ساختار به شبکه ای از عناصر کوچک تقسیم می شود و مختصات دکارتی برای تعیین موقعیت هر عنصر و گره های آن استفاده می شود. با حل یک سیستم معادلات بر اساس این مختصات، مهندسان می‌توانند پیش‌بینی کنند که چگونه سازه تغییر شکل می‌دهد، کجا ممکن است خراب شود و چگونه طراحی آن را بهبود بخشد.

3.2 رباتیک و اتوماسیون

در رباتیک، مختصات دکارتی برای کنترل موقعیت و حرکت سیستم های رباتیک استفاده می شود. به عنوان مثال، یک بازوی رباتیک صنعتی ممکن است برای حرکت به یک نقطه خاص در فضای سه بعدی برنامه ریزی شود که با مختصات دکارتی آن (x، y، z) تعریف می شود. با ارسال دستورالعمل‌ها بر اساس این مختصات، ربات می‌تواند به‌طور دقیق خود را قرار دهد و اشیا را دستکاری کند.

بسیاری از سیستم‌های رباتیک از روبات‌های دکارتی استفاده می‌کنند که ربات‌های آگانتری نیز شناخته می‌شوند، که در امتداد محورهای خطی ثابت (x، y، و z) حرکت می‌کنند. این ربات‌ها معمولاً در برنامه‌هایی مانند عملیات انتخاب و مکان استفاده می‌شوند، جایی که ربات باید در مسیرهای مستقیم حرکت کند تا اشیا را از یک مکان بردارد و در مکان دیگری قرار دهد.

3.3 سیستم های کنترل

مهندسی سیستم‌های کنترل، مختصات دکارتی اغلب برای مدل‌سازی وضعیت یک سیستم و طراحی الگوریتم‌های کنترلی که رفتار سیستم را هدایت می‌کنند، استفاده می‌شوند. به عنوان مثال، در یک پهپاد یا هواپیمای بدون سرنشین (UAV)، موقعیت و جهت پهپاد با استفاده از مختصات دکارتی توصیف می‌شود و الگوریتم‌های کنترلی از این اطلاعات برای تثبیت پهپاد و هدایت آن در فضا استفاده می‌کنند.

نتیجه گیری

سیستم مختصات دکارتی، با چارچوب ساده و در عین حال قدرتمند از محورها و اعداد، ابزاری ضروری در ریاضیات، علوم و فناوری است. مختصات دکارتی از نقش اولیه‌اش در پیوند جبر با هندسه تا کاربردهای مدرن آن در حساب چند متغیره، جبر خطی، گرافیک رایانه‌ای و فیزیک، همچنان زبانی جهانی برای توصیف جهان پیرامون ما فراهم می‌کند.

از طریق مختصات دکارتی، می‌توانیم به طور یکپارچه بین فضاهای ریاضی انتزاعی و پدیده‌های فیزیکی دنیای واقعی جابه‌جا شویم و حل مسائل پیچیده، ایجاد طرح‌های پیچیده و کشف ابعاد جدید درک را ممکن کنیم. انطباق پذیری سیستم، چه در ابعاد دو، سه یا حتی بالاتر، تضمین می کند که سنگ بنای تفکر علمی و توسعه فناوری مدرن باقی بماند.

چه در حال رسم یک خط ساده بر روی یک نمودار، محاسبه مسیر یک فضاپیما یا ارائه یک مدل سه بعدی در یک بازی ویدیویی باشید، مختصات دکارتی ابزاری ضروری است که فاصله بین اعداد و فضا را پر می‌کند و ما را قادر می‌سازد تا کمیت کنیم. ، کاوش کنید و جهان را به روش های قابل توجهی شکل دهید.